Іспит з математики

Оцінка
Скачати

1.Матрицею розмірут*пназивається таблиця упорядкованих чисел або б.-я. інших об’єктів розташованих в м-рядках та п-стовпцях.

Матриця, яка має розмір т*1 називається матрицею-стовпцем. Матриця, яка має розмір 1*п, називається матрицею-рядком. Матриця, яка має розмір п*п, називається квадратною матрицею порядку п.

Множина елементів а11, а22,…,апп, називається головною діагоналлю.

Зауваження: сума всіх елементів головної діагоналі називається слідом матриці і позначається SpA.

Якщо квадратна матриця має вигляд то вона називається діагональною.

Діагональна матриця, у якої всі числа головної діагоналі рівні між собою, називається скалярною.

Скалярна матриця, в якій всі числа головної діагоналі дорівнюють 1, називається одиничною і позначається Е.   Е= 

Нульовою матрицею називається матриця, всі числа якої нулі.

Квадратна матриця називається симетричною якщо aij=aji.

якщо в матриці А рядки записати стовпцями із збереженням їх порядку, то одержана матриця Ат називається транспонованою.    А= Ат=

дві матриці вважаються рівними, якщо вони мають однаковий розмір і їх відповідні елементи рівні між собою.

2. Добутком матриці А на число к називається матриця, елементи якої дорівнюють добутку елементів матриці А на число к.

 А=  

Для знаходження добутку двох матриць необхідно, щоб кількість стовпців першої матриці дорівнювала кількості рядків другої. Такі матриці називаються зчепленими.

Добутком двох квадратних матриць порядку п буде квадратна матриця порядку п.

3. Визначником п-го порядку квадратної числової матриці порядку п називається число, яке знаходиться з елементів матриці за певним правилом.

= а11а22- а12а21

зауваження: якщо визначник квадратної матриці дорівнює нулю, то матриця називається виродженою. Якщо визначник відмінний від нуля, матриця не вироджена.

Правила знаходження визначника третього порядку:

ü Правило трикутників

ü Правило Саррюса.

Для знаходження визначника порядку вищого за три, треба користуватися поняттям мінора та алгебраїчного доповнення.

Mij мінором aij елемента |А| визначника п-го порядку називається визначник п-1 порядку, який одержується з визначника |А| шляхом викреслення і-го рядка та j-го стовпця, на перетині котрих знаходиться елемент aij. алгебраїчним доповненням Aij, елемента aij визначника |А| називається добуток мінора на число (-1)і+j.

Aij = (-1)і+j*Mij.

      

А21=(-1)2+1*9= -9

Правило знаходження визначника довільного порядку п. Визначник п-го порядку = сумі добутків всіх елементів деякого стовпчика чи рядка на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

a11

a1j

a1n

|А|=

ai1

aij

ain

an1

anj

ann

|А|= a1jA1j+…+aijAij+…+anjAnj

для скорочення обчислення визначника доцільно розкласти його за елементами того рядка чи стовпця, який містить найбільшу кількість нулів.

4. властивості визначників:

1. визначник при трансплануванні матриці не змінюється

2. якщо у визначнику поміняти місцями б.-я. два рядки або стовпці, то визначник змінює знак на протилежний

3. якщо визначник має два однакові рядки чи стовпці, то він дорівнює нулю

4. якщо всі елементи б.-я. рядка чи стовпця = нулю, то визначник теж буде = нулю

5. якщо до всіх елементів б.-я. рядка чи стовпця додати відповідні елементи іншого рядка чи стовпця цього визначника, помножені на деяке число, то визначник не змінюється.

5. Обернена матриця та її знаходження. Матриця А-1 називається оберненою до матриці А, якщо А-1·А = Е. Зауваження: обернену матрицю має тільки квадратна не вироджена матриця. Алгебраїчні доповнення записуються стовпцями.

А11

А21

Аn1

А-1=

1/|А|

А12

А22

Аn2

А1n

А2n

Аnn

6.Системи алгебраїчних рівнянь. Основні означення. Лінійна система у загальному випадку має вигляд:

a11x1+

a12x2+…+

a1nxn

=b1

a21x1+

a22x2+…+

a2nxn

=b2

(1)

am1x1+

am2x2+…+

amnxn

=bm

Де х1, х2,…, хп — невідомі, aij— коеф при невідомих, ві — вільні члени. Якщо всі вільні члени = нулю, то система називається однорідною. Якщо хоч один вільний член відмінний від нуля, система називається неоднорідною. Розв’язком системи (1) називається така впорядкована множина чисел (α1, α2,…, αn) при підстановці яких у систему замість невідомих одержується вірні числові рівності. Система, яка має хоч один розв'язок, називається сумісною, система, яка не має розв’язків, називається несумісною. Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок, якщо має більше одного розв'язка, називається невизначеною. Дві системи називаються еквіва-лентними, якщо вони мають однакові розв'язки.

7. розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою оберненої матриці. Запишемо систему (1) у матричній формі. Для цього позначимо через А основну матрицю системи, через X — невідомі (матрицею-стовпцем), через В — матрицю-стовпець вільних членів.

a11

a12…

a1n

А =

a21

a22…

a2n

am1

am2…

amn

x1

X =

x2

xn

b1

B =

b2

bn

a11 x1+

a12 x2+

a1n xn

b1

A*X=

a21 x1+

a22 x2+

a2n xn

b2

=B

am1 x1+

am2 x2+

amn xn

bn

A*X=B

Запис системи у матричній формі.

Нехай маємо систему рівнянь, у якій кількість рівнянь = кількості невідомих.

a11x1+

a12x2+…+

a1nxn

=b1

a21x1+

a22x2+…+

a2nxn

=b2

(2)

am1x1+

am2x2+…+

amnxn

=bm

Матриця цієї системи — квадратна. Якщо її визначник відмінний від нуля, то вона має обернену матрицю А-1. запишемо (2) у матричній формі: A*X=B. Помножимо ліву і праву частини на А-1: А-1*А*Х = А-1*В, А-1*А = Е, Þ Х= А-1*В формула знаходження розв'язку за допомогою оберненої матриці. Зауваження: цю формулу можна використовувати тільки тоді, коли матриця системи квадратна і має визначник відмінний від нуля.

8. правило Крамера. Нехай маємо систему (2), тобто кількість невідомих = кількості рівнянь. Правило Крамера: нехай D — визначник матриці системи п-лінійних рівнянь з п-невідомими, а Dj —допоміжний визначник, який одержується з визначника D шляхом заміни його j-стовпця стовпцем вільних членів. Якщо D¹0, то система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулою: (j=1,2,…,n)

←Попередня Наступна→
1 2 3 4 5
Іспит з математики 4.7 з 5 на основі 32 оцінок від 32 користувачів